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強凸関数の性質【数学】

数学

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頻繁にわからなくなるのでメモ。適宜追記・修正します。

係数 $\mu$ の強凸関数の定義

$f( (1-\alpha) x + \alpha y) \leq (1 - \alpha)f(x) + \alpha f(y) - \frac12 \mu \alpha (1 - \alpha) || x - y ||^2 \quad (\alpha \in [ 0, 1])$

一次近似との関係

$f(y) - f(x) \geq \nabla f(x)^\top (y - x) + \frac12 \mu ||x - y||^2$

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